Les mathématiques de la bataille navale

Les positions d'un navire

Sur une ligne de dix cases, un navire de longueur L peut commencer à 11 − L endroits. Il y a dix lignes et dix colonnes, et le navire peut être horizontal ou vertical :

positions = 2 × 10 × (11 − L)

Soit 120 positions pour le porte-avions, 140 pour le croiseur, 160 pour chaque navire de trois cases et 180 pour le torpilleur.

Les dispositions de la flotte

Pour la flotte entière, il ne suffit pas de multiplier ces nombres : les navires ne doivent pas se chevaucher. Nous avons donc fait compter toutes les dispositions par un programme, qui place les navires un par un en éliminant toutes les combinaisons qui se chevauchent.

• 30 093 975 536dispositions, navires collés permis
• 3 851 502 784dispositions, navires séparés

Le contre-torpilleur et le sous-marin sont comptés comme deux navires distincts : échanger leurs places donne une disposition différente. L'interdiction de contact divise le total par 7,8. En langage d'information, deviner la disposition exacte revient à découvrir environ 35 bits d'information, et 32 bits avec les navires séparés.

Pourquoi le centre est plus probable

Une case du bord ne peut être traversée par un navire que dans un nombre limité de positions : un porte-avions horizontal ne passe par A1 que s'il commence en A1. Une case centrale, au contraire, peut être la première, la deuxième ou la cinquième case de ce porte-avions. En additionnant les positions des cinq navires, on obtient la carte ci-dessous.

La seconde carte tient compte du fait que les navires ne se chevauchent pas. Elle reste très proche de la première : environ 22 % de chances au centre, 7 % dans les coins. En moyenne, une case a 17 % de chances de contenir un navire, puisque la flotte occupe 17 cases sur 100.

Pourquoi le damier fonctionne

Numérotons colonnes et lignes de 1 à 10, et colorions une case en noir quand la somme de ses deux numéros est paire. Deux cases voisines diffèrent de 1 sur un seul numéro : leurs sommes n'ont pas la même parité, elles n'ont donc pas la même couleur. Un navire de deux cases ou plus recouvre forcément une case noire. Plus généralement, les cases dont la somme est un multiple de L forment un motif qui touche tout navire de longueur L ou plus : 50 cases pour L = 2, 33 pour L = 3, 25 pour L = 4, 20 pour L = 5.

Pourquoi le hasard demande 95 tirs

Tirer au hasard sans jamais répéter une case revient à mélanger les 100 cases et à les retourner dans l'ordre. La partie se termine quand la dernière des 17 cases occupées est retournée. Si l'on choisit k cases au hasard parmi n, la position moyenne de la dernière est k × (n + 1) ÷ (k + 1). Avec k = 17 et n = 100, on trouve 1 717 ÷ 18, soit environ 95,4 tirs. Nos 20 000 parties simulées donnent 95,2.

Le minimum et le maximum

Une partie ne peut pas durer moins de 17 tirs, un par case occupée, ni plus de 100. Un joueur méthodique se situe la plupart du temps entre 35 et 60 tirs. Les mesures détaillées sont sur la page combien de tirs pour gagner.

Pour aller plus loin en classe

Ces calculs sont accessibles dès le collège : dénombrer les positions d'un navire, calculer une probabilité simple, démontrer la propriété du damier. La page la bataille navale en classe propose des activités par niveau.